Геометрические задачи на доказательство

Задача 1. Основания BC и AD трапеции равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.


Задача 2. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁B₁C и ABC подобны.


Задача 3. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон CD и AB четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAD и KCB подобны.


Задача 4. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.


Задача 5. Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M – середина стороны AD. Докажите, что CM – биссектриса угла BCD.


Задача 6. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне CD. Докажите, что M – середина CD.


Задача 7. Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.


Задача 8. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.