Треугольники (задачи повышенной сложности)

Задача 1. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABС к площади четырехугольника KPCM.


Задача 2. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.


Задача 3. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK :KM = 10 : 9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABС.


Задача 4. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK :KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.


Задача 5. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.


Задача 6. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC относится к длине стороны AB как 9 : 7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.


Задача 7. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD : CD = 1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.


Задача 8. Площадь треугольника ABC равна 90. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом BD : CD = 2:1. Найдите площадь четырехугольника EDCK.


Задача 9. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.


Задача 10. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 28, а площадь равна 98.


Задача 11. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.


Задача 12. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 40 : 1, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 30.


Задача 13. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 47 : 14, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 28.