Сообщество учителей Горкуновой Ольги - Числа, последовательности и прогрессии

Числа, последовательности и прогрессии

Задача 1. Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя  — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.
а)  Могло ли быть в сборнике 85 задач?
б)  Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?
в)  Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

ПРОВЕРЬ ОТВЕТ

а) да, б) нет, в) 14

Задача 2. Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.
а)  Приведите пример, когда S < 15.
б)  Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?
в)  Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?

ПРОВЕРЬ ОТВЕТ

а) , б) нет, в) 12

Задача 3. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

ПРОВЕРЬ ОТВЕТ

а) да , б) нет, в) 91

Задача 4. В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.
а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

ПРОВЕРЬ ОТВЕТ

а) нет , б) нет, в) 449

Задача 5. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в)  Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

ПРОВЕРЬ ОТВЕТ

а) 17 и 16 , б) нет, в) 1650

1. Свой блок открываем